скільки сторін має правильний багатокутник, якщо кожен кут = 150 градусів.

Дано:
Внутрішній кут багатокутника = 150 градусів.

Знайти:
Скільки сторін має правильний багатокутник.

Рішення:
Внутрішній кут обчислюється за такою формулою:
Альфа = 180 * (n-2) / n, де n-кількість сторін. Звідси маємо:
n*150 = n*180 - 360 => (180-150)*n = 360 => n = 360/30 = 12

Відповідь: Потрібен багатокутник має 12 сторін.

Для опуклого n-кутника сума всіх ЗОВНІШНІХ кутів дорівнює 360°
Т. до. внутрішні кути по 150 градусів, то відповідні їм зовнішні – по 30 градусів. (Розгорнутий кут - 180 градусів). Повний обіг це 360 градусів.
Тому 360:30=12 (кутів чи сторін)

Багатокутник

Багатокутник - це двовимірна геометрична фігура, що складається з кінцевого числа відрізків (званих сторонами або ребрами), які з'єднані кінцями, утворюючи замкнуту форму. Слово "багатокутник" походить від грецьких слів "полі" (що означає "багато") і "гон" (що означає "кут").
Багатокутники можуть мати будь-яку кількість сторін, але вони мають бути прямими лініями та не можуть перетинатися. Багатокутники із трьома сторонами називаються трикутниками, із чотирма сторонами - чотирикутниками, із п'ятьма сторонами - п'ятикутниками тощо.
Периметр багатокутника – це сума довжин його сторін. Якщо багатокутник \(n\) сторін і довжина кожної сторони позначається \(s_i\) для \(i = 1,2,…,n,\) , то периметр \(P\) задається формулою: $$ P = s_1 + s_2 + \ldots + s_n = \sum_^n s_i $$

Внутрішні кути багатокутника - це кути, утворені будь-якими двома суміжними сторонами всередині багатокутника.Сума внутрішніх кутів багатокутника з \(n\) сторонами задається формулою: $$ \sum_^n \theta_i =(n-2) \cdot 180^\circ $$ де \( \theta_i \) - це міра \(i\ )-го внутрішнього кута в градусах.

Регулярні багатокутники - це багатокутники, у яких усі сторони мають однакову довжину, а всі внутрішні кути мають однакову міру. Міра кожного внутрішнього кута регулярного багатокутника з сторонами ((n)) задається формулою: $$ \theta = \frac $$

Площа багатокутника може бути розрахована кількома способами залежно від форми багатокутника.
Наприклад, площа трикутника може бути розрахована з використанням формули: \(A = \frac bh \) , де \(b\) - це основа трикутника, а \(h\) - його висота.
Площа регулярного багатокутника з \(n\) сторонами і довжиною сторони \(s\) може бути розрахована з використанням формули: \( A= \frac ns^2 cot(\frac<\pi >) \), де \(cot (x) \) - це функція котангенсу.

Багатокутники використовуються в різних областях, включаючи математику, інженерію і комп'ютерну графіку. Вони також використовуються у повсякденному житті, наприклад, у дизайні будівель та меблів.

Випуклі та увігнуті багатокутники. ☰

Багатокутники можна класифікувати як опуклі чи увігнуті з урахуванням характеру їх кутів.
Випуклий багатокутник - це багатокутник, у якого всі його внутрішні кути менше 180 градусів. Іншими словами, якщо провести пряму лінію між будь-якими двома точками всередині багатокутника, то відрізок завжди буде повністю лежати всередині багатокутника. Так само опуклий багатокутник - це багатокутник, який не "згинається всередину", як ложка.
Прикладами опуклих багатокутників є рівносторонні трикутники, квадрати, правильні п'ятикутники та правильні шестикутники. Випуклі багатокутники важливі у багатьох галузях математики та додатків, оскільки вони мають багато корисних властивостей та відносно легко обробляються.
З іншого боку, увігнутий багатокутник - це багатокутник, у якого хоча б один із його внутрішніх кутів більше 180 градусів. Іншими словами, якщо провести пряму лінію між будь-якими двома точками всередині багатокутника, то відрізок перетне межу багатокутника. Так само увігнутий багатокутник - це багатокутник, який "згинається всередину", як ложка.
Прикладами увігнутих багатокутників є буква "С" (коли вона зображена у вигляді замкнутої форми), буква "L" і будь-який багатокутник з "виїмкою" або "вм'ятиною" у його кордоні. Увігнуті багатокутники менш поширені у додатках, оскільки в них складніша геометрія та їх математична обробка може бути складнішою.
Одна важлива відмінність між опуклими і увігнутими багатокутниками полягає в тому, що опуклі багатокутники мають унікальну центральну точку, звану центроїдом, яка також є центром балансу або гравітації багатокутника. Це робить опуклі багатокутники корисними у додатках, таких як інженерія та архітектура, де баланс та стабільність відіграють важливу роль. З іншого боку, увігнуті багатокутники не мають унікального центроїду, що робить їх більш складними для аналізу та роботи.

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника ☰

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника з \(n\) сторонами задається формулою: $$ \sum_^n \theta_i =(n-2)⋅180^\circ $$ де \( \theta_i\) - це міра \(i\ )-го внутрішнього кута в градусах.
Сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника завжди дорівнює 360 градусів, незалежно від кількості сторін. Це означає, що якщо виміряти кожен зовнішній кут опуклого багатокутника і скласти їх заходи, то загальна сума завжди дорівнюватиме 360 градусів.
Щоб зрозуміти, чому це так, уявіть, що ви йдете вздовж периметра багатокутника і повертаєтеся на кожній вершині, щоб продовжити наступну сторону. При кожному повороті ви створюєте зовнішній кут із стороною, від якої ви щойно відійшли. Якщо ви зробите повне коло навколо багатокутника, здійсніть загальний поворот на 360 градусів.
Ми можемо використовувати формулу для суми внутрішніх кутів і той факт, що сума зовнішніх кутів дорівнює 360 градусів, щоб знайти міру кожного зовнішнього кута. Нехай \(a_i\) - це міра \(i\)-го зовнішнього кута в градусах. Тоді ми маємо: $$ \sum_^n \theta_i + \sum_^n a_i =(n-2) \cdot 180^\circ +360^\circ $$ $$ \small \sum_^n a_i =(\ sum_^n \theta_i )-(n-2) \cdot 180^\circ +360^\circ = (n-2) \cdot 180^\circ -(n-2) \cdot 180^\circ +360^\circ=360^\circ $$ Отже, міра кожного зовнішнього кута опуклого багатокутника задається формулою: $$ a_i= 360^\circ - \theta_i $$ Зверніть увагу, що ця формула застосовується тільки до опуклих багатокутників, а не до увігнутих багатокутників, у яких зовнішні кути можуть бути більшими за 180 градусів.

Вписані та описані багатокутники ☰

Вписані та описані багатокутники - важливі концепції в геометрії, які включають багатокутники, вписані всередину і описані навколо кола.Ці концепції часто використовуються в різних галузях математики, таких як геометрія, тригонометрія та обчислення.

Вписаний багатокутник
Вписаний багатокутник - це багатокутник, який намальований усередині кола так, щоб усі його вершини лежали на колі кола. Нижче наведено приклад вписаного багатокутника.

Основна властивість вписаного багатокутника полягає в тому, що сума внутрішніх кутів дорівнює \((n-2) 180^\circ\), де \(n\) - кількість сторін багатокутника. Це відомо як сума внутрішніх кутів багатокутника. Ми можемо довести цю властивість, використовуючи той факт, що центральний кут кола, який передбачає кожна сторона багатокутника, дорівнює відповідному внутрішньому куту багатокутника. Оскільки сума центральних кутів становить \(360^\circ\) (повний кут кола), сума внутрішніх кутів повинна бути ((n-2) 180^\circ\).
Ще одне важливе властивість вписаного багатокутника у тому, що добуток довжин його сторін максимізується, коли багатокутник є правильним. Іншими словами, якщо \(s_1\), \(s_2\), … , \(s_n\) - довжини сторін вписаного багатокутника з \(n\) сторонами, то добуток \(s_1\), \(s_2\), … , \(s_n\) максимізується, коли багатокутник є правильним.

Описаний багатокутник
Описаний багатокутник - це багатокутник, намальований поза кола те щоб всі його вершини лежали на колі кола. Нижче наведено приклад описаного багатокутника.

Основна властивість описаного багатокутника полягає в тому, що добуток довжин його сторін дорівнює \( 2R^n sin( \frac ) \), де \(n\) - кількість сторін багатокутника, а \(R\) - радіус кола. Це відомо як формула добутку сторін багатокутника.Ми можемо довести цю формулу, використовуючи той факт, що довжина кожної сторони багатокутника дорівнює подвоєному радіусу, помноженому на синус половини центрального кута кола, яке передбачається цією стороною. Оскільки центральний кут правильного багатокутника з \(n\) сторонами дорівнює \( \frac \), ми маємо вищевказану формулу.
Ще одна важлива властивість описаного багатокутника у тому, що площа багатокутника максимізується, коли багатокутник є правильним. Іншими словами, якщо (A) - площа описаного багатокутника з (n) сторонами, то площа максимізується, коли багатокутник є правильним.

Приклади
Розгляньмо приклад, щоб проілюструвати ці концепції. Припустимо, ми маємо коло з радіусом 5. Яка максимальна площа вписаного п'ятикутника (багатокутника з п'ятьма сторонами) у цьому колі, і яка максимальна площа описаного п'ятикутника?

Щоб знайти максимальну площу вписаного п'ятикутника, нам потрібно знайти довжину сторони, яка максимізує добуток довжин сторін. Оскільки п'ятикутник вписаний у коло радіусом 5, довжина сторони визначається $$s =2R sin(\frac ) = 2 \cdot 5sin(36^\circ )= 6.472 $$ Отже, максимальна площа вписаного п'ятикутника досягається, коли п'ятикутник є правильним, складає: $$ A_text = \frac \cdot tan(36^\circ ) \approx 61.937 $$ Щоб знайти максимальну площу описаного п'ятикутника, ми можемо використати формулу добутку сторін багатокутника. Для п'ятикутника ми маємо: $$ \small A_\text =\frac \cdot cot(36^\circ )=5R^2 sin(72^\circ ) \approx 78.589 $$ Знову максимальна площа описаного п'ятикутника досягається, коли п'ятикутник є правильним.

На закінчення, вписані та описані багатокутники - важливі концепції в геометрії, які включають багатокутники, вписані всередину і описані навколо кола. Ці концепції мають безліч цікавих властивостей і використовуються у різних галузях математики.

Кола, намальовані всередині та зовні трикутника ☰

Тема про кола, намальовані всередині та зовні трикутника, є важливим аспектом елементарної геометрії. Існує кілька теорем, пов'язаних з колами, намальованими всередині та зовні трикутника, які обговорюються нижче:

Вписане коло та центр вписаного кола:
Вписане коло трикутника – це коло, що стосується всіх трьох сторін трикутника. Центр вписаного кола називається центром вписаного кола трикутника. Центр вписаного кола знаходиться на рівній відстані від трьох сторін трикутника.

Теорема 1: Центр вписаного кола трикутника є перетином його трьох бісектрис кутів.

Доказ: Нехай ABC – трикутник, а I – центр його вписаного кола. Нехай D, E та F - точки торкання вписаного кола зі сторонами BC, AC та AB відповідно. Тоді ID, IE та IF є перпендикулярними бісектрисами відрізків EF, FD та DE відповідно. Отже, ID є бісектрисою кута BIC, де B і C - вершини трикутника, а I - центр вписаного кола. Аналогічно, IE та IF є бісектрисами кутів AIC та AIB відповідно. Отже, три бісектриси кутів трикутника перетинаються у центрі I.

Теорема 2: Відстань від центру вписаного кола трикутника до будь-якої сторони дорівнює радіусу вписаного кола.

Доказ: Нехай ABC – трикутник, а I – центр його вписаного кола.Нехай D, E та F - точки торкання вписаного кола зі сторонами BC, AC та AB відповідно. Тоді ID, IE та IF є перпендикулярними бісектрисами відрізків EF, FD та DE відповідно. Отже, ID є висотою трикутника IBC від вершини I до BC. Аналогічно, IE та IF є висотами трикутників AIC та AIB від вершини I до сторін AC та AB відповідно. Оскільки \(ID=IE=IF\), слідує, що відстань від центру I до будь-якої сторони трикутника дорівнює радіусу вписаного кола.

Описане коло та центр описаного кола:
Описане коло трикутника - це коло, що проходить через три вершини трикутника. Центр описаного кола називається центром кола трикутника. Центр описаного кола - це перетин перпендикулярних бісектрис сторін трикутника.

Теорема 3: Центр описаного кола трикутника є перетином перпендикулярних бісектрис його сторін.

Доказ: Нехай ABC – трикутник, а O – центр його описаного кола. Нехай D, E та F - середини сторін BC, AC та AB відповідно. Тоді OD, OE та OF є перпендикулярними бісектрисами сторін BC, AC та AB відповідно. Отже, OD перпендикулярний BC, і (OD = frac BC). Аналогічно, OE перпендикулярний AC, і (OE = frac AC). Аналогічно, OF перпендикулярний AB, і (OF = frac AB). Отже, O знаходиться на рівній відстані від трьох вершин трикутника і, отже, лежить на перпендикулярних бісектрис всіх трьох сторін. Отже, центр описаного кола трикутника є перетином перпендикулярних бісектрис його сторін.

Теорема 4: Перпендикулярні бісектриси сторін трикутника перетинаються тоді й лише тоді, коли трикутник гострокутний, прямокутний чи тупокутний.

Доказ: Нехай ABC - трикутник, а D, E і F - середини сторін BC, AC і AB відповідно. отже, O знаходиться на рівній відстані від усіх трьох вершин трикутника. центр описаного кола трикутника. Якщо трикутник гострокутний, то центр описаного кола лежить усередині трикутника.

Назад, припустимо, що трикутник гострокутний, прямокутний або тупокутний. Якщо трикутник гострокутний, то перпендикулярні бісектриси сторін перетинаються всередині трикутника. Отже, перпендикулярні бісектриси сторін перетинаються тоді і лише тоді, коли трикутник гострокутний, прямокутний або тупокутний.

Зовнішні кола та зовнішні центри:
Зовнішнє коло трикутника - це коло, що стосується однієї з його сторін і продовження двох інших сторін трикутника. Є три зовнішні кола трикутника, один для кожної сторони.Зовнішній центр знаходиться на бісектрисі зовнішнього кута у вершини, протилежній дотичній стороні.

Теорема 5: Зовнішній центр трикутника, що відповідає даній стороні, лежить на бісектрисі зовнішнього кута у вершини, протилежній цій стороні.

Доказ: Нехай ABC - трикутник, а (I_A) - центр зовнішнього кола, що відповідає стороні BC. Нехай D - точка торкання зовнішнього кола зі стороною BC, а E та F - точки торкання зі сторонами CA та AB відповідно. Тоді \(I_A D\) перпендикулярний BC, а \(I_A E\) і \(I_A F\) - бісектриси кутів BAC і CAB відповідно. Отже, \(I_A\) лежить на бісектрисі зовнішнього кута у вершини A. Аналогічно, зовнішній центр \(I_B\) відповідний стороні AC лежить на бісектрисі зовнішнього кута у вершини B, і зовнішній центр \(I_C\) відповідний стороні AB лежить на бісектрисі зовнішнього кута у вершини C.

На закінчення, тема про кола, намальовані всередині та зовні трикутника, є важливим аспектом елементарної геометрії. Теореми, пов'язані з вписаними, описаними та зовнішніми колами, є фундаментальними результатами, які надають цінні ідеї щодо властивостей трикутників.

Властивості чотирикутника, вписаного та описаного біля кола ☰

Чотирьохкутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на колі. Аналогічно, чотирикутник називається описаним біля кола, якщо коло стосується всіх його чотирьох сторін.

Властивості Чотирьохкутника, Вписаного в Окружність:

• Протилежні кути чотирикутника, вписаного в коло, додаткові. Тобто сума заходів будь-яких двох протилежних кутів дорівнює 180 градусів.



• Діагоналі чотирикутника, вписаного в коло, перетинаються під прямим кутом.Тобто діагоналі перпендикулярні одна одній.



• Добуток довжин двох діагоналей чотирикутника, вписаного в коло, дорівнює сумі творів довжин пар протилежних сторін. Тобто, якщо \(ABCD\) - чотирикутник, вписаний в коло, то (AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC\).



• Відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін чотирикутника, вписаного в коло, перетинаються однією точці. Тобто, відрізки AC і BD перетинаються у точці P, де P – середина відрізка EF та EF – відрізок, що з'єднує середини AB та CD.

Властивості Чотирьохкутника, Описаного біля Окружності:

• Протилежні сторони чотирикутника, описаного біля кола, є паралельними. Тобто, $$ AB \parallel CD $$ і $$ AD \parallel BC $$



• Сума протилежних пар сторін чотирикутника, описаного біля кола, дорівнює діаметру кола. $$ text AB+CD=AD+BC $$



• Відрізки, що з'єднують точки дотику кола зі сторонами чотирикутника, описаного біля кола, перетинаються в одній точці. Тобто, відрізки AC і BD перетинаються в точці P, де P - перетин дотичних до кола в точках B і D.



• Площа чотирикутника, описаного біля кола, можна обчислити, використовуючи формулу Брахмагупт: $$ \text =\sqrt $$ де \(a\), \(b\), \(c\) і \(d\) - довжини сторін чотирикутника, а \(s\) - напівпериметр, який задається формулою: $$ s=\frac$$



• Якщо чотирикутник одночасно вписаний і описаний біля кола, то він повинен бути квадратом. Іншими словами, якщо чотирикутник має властивість, що його вершини лежать на колі і коло стосується всіх чотирьох сторін, то чотирикутник повинен бути квадратом.

Кола всередині та поза правильним багатокутником ☰

Правильний багатокутник – це багатокутник, у якого всі сторони та кути рівні. Кола можуть бути вписані всередину і описані навколо правильного багатокутника.

Окружність, вписана в правильний багатокутник:
Коло, вписане в правильний багатокутник, стосується кожної сторони багатокутника в одній точці. Центр кола також є центром багатокутника.
Нехай \(r\) - радіус вписаного кола, \(s\) - довжина сторони правильного багатокутника, а \(n\) - кількість сторін багатокутника.
Площу \(A\) правильного багатокутника можна обчислити за формулою: \(A = frac nr^2 sin frac \).

Периметр (P) правильного багатокутника визначається за формулою: (P = ns).
Радіус \(r\) вписаного кола можна розрахувати за формулою: $$ r= \frac> $$

Окружність, описана навколо правильного багатокутника:
Коло, описане навколо правильного багатокутника, проходить через кожну вершину багатокутника. Центр кола також є центром багатокутника.
Нехай \(R\) - радіус описаного кола, \(s\) - довжина сторони правильного багатокутника, а \(n\) - кількість сторін багатокутника.
Площу \(A\) правильного багатокутника можна обчислити за формулою: $$ A=\frac nR^2 sin \frac $$

Периметр (P) правильного багатокутника визначається за формулою: (P = ns).
Радіус \(R\) описаного кола можна розрахувати за формулою: $$ R= \frac> $$

Площа багатокутника. Площа правильного багатокутника. ☰

Площа багатокутника – це міра двовимірної області, обмеженої багатокутником. Формула обчислення площі багатокутника залежить від його типу.
Наприклад, площа трикутника можна обчислити за допомогою формули: $$ \text = \frac \cdot \text \cdot \text $$

Для прямокутника площу можна обчислити за допомогою формули: $$ \text = \text \cdot \text $$ Для неправильних багатокутників існують різні методи розрахунку площі, такі як поділ на простіші фігури та складання їх площ або використання методів математичного аналізу.

З іншого боку, площу правильного багатокутника можна обчислити з використанням наступної формули: $$ \small \text = \frac \cdot \text \cdot \text $$

Де Периметр – сума довжин всіх сторін багатокутника, а Апофема – перпендикулярна відстань від центру багатокутника до однієї з його сторін.

Правильний багатокутник - це багатокутник, у якого всі сторони дорівнюють за довжиною, а всі кути рівні за величиною. Приклади правильних багатокутників включають рівносторонні трикутники, квадрати, правильні п'ятикутники, шестикутники і таке інше.

© 2023 Math Nirvana. Всі права захищені.