Аксіома
Аксіома (ін.-грец. ἀξίωμα - твердження, положення), постулат — вихідне становище будь-якої теорії, прийняте у межах даної теорії істинним без необхідності докази і що лежить в основі доказу інших її положень. [1]
У сучасній науці аксіоми - це положення теорії, які приймаються за вихідні, причому питання про істинність вирішується або в рамках інших наукових теорій, або за допомогою інтерпретації цієї теорії. [1]
Аксіоматизація теорії - явна вказівка кінцевого або лічильного, рекурсивно перерахованого (як, наприклад, в аксіоматиці Пеано) набору аксіом і правил виведення. Після того як дано назви об'єктам, що вивчаються, і їх основним відносинам, а також аксіоми, яким ці відносини повинні підкорятися, весь подальший виклад повинен ґрунтуватися виключно на цих аксіомах, не спираючись на звичайне конкретне значення цих об'єктів та їх відносин. Твердження на основі аксіом називаються теоремами. З формальної точки зору, самі аксіоми також входять до числа теорем.
Приклади різних, але рівносильних наборів аксіом можна зустріти у математичній логіці та Евклідовій геометрії.
Набір аксіом називається несуперечливим, якщо з аксіом набору, користуючись правилами логіки, не можна дійти суперечності, тобто довести одночасно і певне твердження, та його заперечення. Аксіоми є свого роду «точками відліку» для побудови теорій у будь-якій науці, у своїй самі де вони доводяться, а виводяться безпосередньо з емпіричного спостереження (досвіду) чи обгрунтовуються у глибшої теорії.
Австрійський математик Курт Гедель довів «теореми про неповноту», згідно з якими будь-яка система математичних аксіом (формальна система) починаючи з певного рівня складності або внутрішньо суперечлива, або неповна (тобто в досить складних системах знайдеться хоча б одне висловлювання, істинність і хибність якого не може бути доведена засобами цієї системи). [2]
Історія
Вперше термін «аксіома» зустрічається у Арістотеля (384—322 до н.е.(наша ера)) і перейшов у математику від філософів Стародавньої Греції. Евклід розрізняє поняття "постулат" та "аксіома", не пояснюючи їх відмінності. З часів Боеція постулати перекладають як вимоги (petitio), аксіоми як загальні поняття. Спочатку слово «аксіома» мало значення «істина, очевидна сама собою». У різних манускриптах почав Евкліда розбиття тверджень на аксіоми і постулати по-різному, не збігається їхній порядок. Ймовірно, переписувачі дотримувалися різних поглядів на відмінність цих понять.
Ставлення до аксіом як до якихось незмінних самоочевидних істин зберігалося довгий час. Наприклад, у словнику Даля аксіома — це «очевидність, ясна і безперечна істина, яка потребує доказів».
Зараз аксіоми обгрунтовуються не власними силами, а ролі необхідних базових елементів теорії. Критерії формування набору аксіом у межах конкретної теорії часто є прагматичними: стислість формулювання, зручність маніпулювання, мінімізація числа вихідних понять тощо. п. Такий підхід не гарантує істинність прийнятих аксіом. Лише доказ теорії є одночасно і доказом набору її аксіом. [1]
Література
- Почала Евкліда. Книги I-VI. М.-Л., 1950
- Гільберт Д. Підстави геометрії. М.-Л., 1948
Примітки
АКСІОМА
(Від грец.axioma - значуще, прийняте положення) - вихідне, що приймається без доказу положення к.-л. теорії, що лежить в основі доказів ін. її положень.
Довгий час термін "А." розумівся непросто як відправний пункт доказів, а й як справжнє становище, яке потребує особливому доказі з його самоочевидності, наочності, ясності тощо. Так, Аристотель вважав, що А. (початку) не вимагають доказів через свою ясність і простоту. Др.-грец. математик Евклід розглядав прийняті ним геометричні А. як самоочевидні істини, достатні виведення всіх ін. істин геометрії. Нерідко О. трактувалися як вічні і незаперечні істини, відомі до будь-якого досвіду і не залежать від нього, спроба обґрунтування яких могла лише підірвати їхню очевидність.
Переосмислення проблеми обґрунтування А.А. змінило і зміст терміну «А.». А. не вихідним початком пізнання, а скоріш його проміжним результатом. Вони обгрунтовуються не власними силами, а ролі необхідних складових елементів теорії: підтвердження останньої є це й підтвердження її А. Критерії вибору А. змінюються від теорії до теорії та є багато в чому прагматичними, що враховують міркування стислості, зручності маніпулювання, мінімізації числа вихідних понять тощо. Зокрема, у формальному обчисленні, клас теорем якого вже відомий, А.А. - це просто одна з тих формул, з яких виводяться інші формули, що доводяться. Якщо, проте, теорія ще визначено однозначно, вибір її А. може диктуватися і змістовними міркуваннями.
АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД — спосіб побудови наукової теорії, у якому якісь положення теорії обираються як вихідних, проте інші її положення виводяться їх суто логічним шляхом, у вигляді доказів. Положення, доведені з урахуванням аксіом, називаються теоремами.
А.М. - особливий спосіб визначення об'єктів та відносин між ними. Він використовують у математиці, логіці, соціальній та окремих розділах фізики, біології та інших.
А.М. зародився ще в античності і набув великої популярності завдяки «Початкам» Евкліда, що з'явився бл. 330-320 до н. Евклиду зірвалася, проте, описати у його «аксіомах і постулатах» все властивості геометричних об'єктів, використовувані їм у реальності; його докази супроводжувалися численними кресленнями. «Приховані» припущення геометрії Евкліда було виявлено лише у час Д. Гільбертом, що розглядав аксіоматичну теорію як формальну теорію, що встановлює співвідношення між її елементами (знаками) і описує будь-які об'єкти, що задовольняють їй. Зараз аксіоматичні теорії нерідко формулюються як формалізовані системи, що містять точний опис логічних засобів виведення теорем із аксіом. Доказ у такій теорії є послідовністю формул, кожна з яких або є аксіомою, або виходить з попередніх формул послідовності по одному з прийнятих правил виведення.
До аксіоматичної формальної системи пред'являються вимоги несуперечності, повноти, незалежності системи аксіом тощо.
А.М. є лише одним із методів побудови наукового знання. Він має обмежене застосування, оскільки вимагає високого рівня розвитку змістовної теорії, що аксіоматизується.
Як показав До.Гедель, досить багаті наукові теорії (напр., арифметика натуральних чисел) не допускають повної аксіоматизації. Це свідчить про обмеженість А.М.
Філософія: Енциклопедичний словник. - М.: Гардаріки.
(грец. — удостоєне, прийняте становище, від — вважаю гідним), вихідне положення наук. теорії, що приймається як істинне без логіч. ін. положень цієї теорії. Термін "А."
У суч. науці А.- це ті пропозиції теорії, які приймаються за вихідні, причому питання про істинність вирішується або в рамках ін. наук. теорій, або за допомогою інтерпретації цієї теорії. наук. теорії, А. у формальному обчисленні - це просто одна з тих формул, з яких за правилами виведення цього обчислення виводяться інші формули, що доводяться в ньому. (теореми цього обчислення).
Філософський енциклопедичний словник. - М.: Радянська енциклопедія.
вихідне положення, яке не може бути доведено, але в той же час і не потребує доказу, тому що є цілком очевидним і тому може бути вихідним положенням для інших положень (див. Дедукція). Логічними аксіомами є: закон тотожності, закон протиріччя, закон виключеного третього (див. Exclusi tertii principium), закон достатнього основи. Аксіоматика – вчення про визначення та докази щодо їхнього ставлення до системи аксіом. Порівн. Логістика.
Філософський енциклопедичний словник. 2010 .
(грец. ἀξίωμα – удостоєне, прийняте положення, від ἀξιόω – вважаю гідним) – становище деякої даної теорії, яке при дедуктивному побудові цієї теорії не доводиться в ній, а приймається за вихідне, відправне, що лежить в основі доказів інших пропозицій цієї теорії. Зазвичай як А. вибираються такі пропозиції аналізованої теорії, які є свідомо істинними або можуть в рамках цієї теорії вважатися істинними, не викликаючи сумнівів в силу своєї простоти і ясності.
Виникнувши у Стародавній Греції, термін "А." вперше зустрічається у Арістотеля, а потім через праці послідовників та коментаторів Евкліда міцно входить у геометрію. У середні віки панування арістотелівської філософії зумовило його проникнення в інші галузі науки, а через неї і в повсякденне життя. А. стали називати таке загальне становище, яке, будучи цілком очевидним, не потребує доказу. Природу цієї очевидності бачили, наслідуючи погляди, що йдуть ще від Платона, у природженості людині таких основних істин, як математич. А. Вчення Канта про апріорність останніх, тобто. про те, що вони передують будь-якому досвіду і не залежать від нього, була кульмінацією таких поглядів на А. Побудова Лобачевським неевклідової геометрії стала першим великим ударом по погляду на А. як на вічні і незаперечні "апріорні" істини.
Критикуючи погляди Гегеля на логіч. А.(на фігури арістотелівських силогізмів), Ленін писав: "практична діяльність людини мільярди разів повинна була приводити свідомість людини до повторення різних логічних фігур, щоб ці фігури могли отримати значення аксиом" ("Філософські зошити", 1947, с. 164). Саме в обумовленості багатовіковою людина. досвідом і практикою, включаючи сюди також і експеримент, і досвід розвитку науки, - причина очевидності А., що розглядаються як істини, що не потребують доказу.
Разом з тим аварія погляду на А. як на "апріорні" істини призвела до роздвоєння поняття А. Все зростаюча у зв'язку з запитами практики необхідність експериментувати в галузі побудови нових теорій, замінювати, подібно до Лобачевського, одну А. іншою, а також пов'язану з досвідченим походженням А. їх відносність, залежність від конкретних умов досвіду і рівня розвитку науки, що раніше зустрічалися, що призводить до неможливості вибрати раз назавжди і назавжди в якості А. такі положення, які будуть істинні абсолютно в усіх умовах, - все це зумовило появу (а в наст. час в математиці, особливо в математич. логіці) і панування поняття А. в сенсі, кілька відмінному від традиційного. Поняття А. у цьому новому розумінні залежить від того, побудова якої теорії розглядається і як воно проводиться. А. даної теорії при цьому називаються просто ті пропозиції цієї теорії, які при даному побудові її як дедуктивної теорії (тобто. при даній її аксіоматизації) приймаються за вихідні, причому абсолютно незалежно від того, як вони прості і очевидні.
Понад те, вже з досвіду, напр., побудови різних неевклидовых геометрій та його подальшого тлумачення і практич. використання (див.Відносності теорія) стала ясною неможливість при побудові (або аксіоматизації) тієї чи іншої теорії щоразу вимагати заздалегідь істинності її аксіом. питання існування інтерпретації часто ставиться вже після побудови самої теорії Та й за наявності фіксованої інтерпретації виникають. глибокі труднощі, пов'язані зі складністю самого поняття істинності і які виявляються при спробах логіко-математич. описах самих теорій засобами розвиненого апарату математич, що дозволяє формалізувати різні теорії. розвиток, ще одне роздвоєння поняття А., поява третього сенсу цього терміна. у ньому формули ("теореми" цього обчислення) Див. також Метод аксіоматичний та літ.
Філософська Енциклопедія. У 5-х т. - М.: Радянська енциклопедія.
АКСІОМА (грец. αξίωμα-прийняте становище)-пропозиція, яка з якоїсь причини приймається як вихідна для будь-яких подальших міркувань. .Типові приклади аксіом: 1) деяке вираження символічного мови обчислення, якщо під подальшими міркуваннями розуміються такі висновки, що використовують його, в рамках даного обчислення. У цьому випадку причина прийняття аксіом-саме визначення обчислення, що розглядається. Тут сумніви щодо прийняття аксіом безглузді; 2) деяка емпірична гіпотеза, якщо під подальшими міркуваннями розуміється, наприклад, систематично розвивається з її основі розділ фізики. І тут причина прийняття аксіоми—віра в закономірність природи, висловлювану цією гіпотезою. Тут сумніви щодо прийняття аксіоми як осмислені, а й бажані; 3) угоду розуміти терміни, що беруть участь у формулюванні деякого судження, як завгодно, але все-таки таким чином, щоб при цьому розумінні аналізоване формулювання виражало справжнє судження. Це той випадок, коли під подальшими міркуваннями розуміється висновок свідомо істинних наслідків з вихідного судження, що неоднозначно розуміється. Тут сумніви щодо прийняття аксіоми безглузді. Коли такі аксіому використовують у межах наукової теорії, її часто називають постулатом значення; 4) твердження, що оцінюється як необхідно істинне (аподиктичне), якщо під подальшими міркуваннями розумівся якась систематично розвивається доктрина, що претендує на досконалість в епістемологічному відношенні (геометрія Евкліда, метафізика Декарта, етика Спінози, науковчення Фіхте, метаматематика Гільберта). ). У цьому випадку причина прийняття аксіоми-свідчення спеціальної пізнавальної здатності (інтуїції) до безпосереднього розсуду деяких імен, які називаються часто самоочевидними.У рамках зазначеної претензії сумніватися в аксіомах абсурдно, але питання про виправданість цієї претензії— одна з найглибших і найвідкритіших проблем у філософії. До. Ф. Самохвалів
Нова філософська енциклопедія: У 4 тт. М.: Думка. За редакцією В. З. Степина. 2001 .
Аксіома
Аксіома (грец. ἀξίωμα – «те, що вважається гідним»; прийняте положення, від ἀξιόω – вважати гідним), вихідне твердження наукової теорії, яке приймається без доказу. При використанні аксіоматичного підходу вибір аксіом певною мірою довільний. Довгий час вважалося, що аксіомами повинні бути твердження, істинність яких очевидна, або надійно встановлена експериментально. Однак, починаючи з 19 ст. стали з'являтися теорії, аксіоми яких вимагали обґрунтування чи підтвердження теоріями, розвиненими з їхньої основі. Такі, наприклад, геометрія Лобачевського та квантова механіка. У формальній аксіоматичній теорії (у класичному гільбертовому розумінні) аксіоми виражаються формулами і поділяються на логічні та математичні. Логічні аксіоми виражають закони логіки. е. твердження, дійсні в будь-якій інтерпретації (наприклад, A & B → A&B \rightarrow A A & B → A , див. Логічні операції ), математичні аксіоми – твердження, дійсні тільки в певних інтерпретаціях (наприклад, x ⋅ y = y ⋅ x x ·y=y·x x ⋅ y = y ⋅ x ). У формальних обчисленнях загального виду аксіомами служать деякі слова з цього набору символів, а теоремами – слова, які з них за певними правилами. Аксіомами називають також властивості, що становлять визначення математичного об'єкта. Аксіоматичні визначення широко використовуються узагальнення раніше відомих математичних понять; їх іноді можна перетворити на самостійну формальну теорію. Див. також Постулат.
Шехтман Валентин Борисович. Перша публікація: Велика російська енциклопедія, 2005.
Опубліковано 26 липня 2023 р. о 14:25 (GMT+3). Останнє оновлення 26 липня 2023 р. о 14:25 (GMT+3). Зв'язатися з редакцією
- Науково-освітній портал «Велика російська енциклопедія»
Створено за фінансової підтримки Міністерства цифрового розвитку, зв'язку та масових комунікацій Російської Федерації.
Свідоцтво про реєстрацію ЗМІ ЕЛ № ФС77-84198 видано Федеральною службою з нагляду у сфері зв'язку, інформаційних технологій та масових комунікацій (Роскомнагляд) 15 листопада 2022 року.
ISSN: 2949-2076 - Засновник: Автономна некомерційна організація «Національний науково-освітній центр «Велика російська енциклопедія»
Головний редактор: Кравець С. Л.
Телефон редакції: +7 (495) 917 90 00
Ел. пошта редакції: [email protected]
- © АНО БРЕ, 2022 - 2024. Всі права захищені.
- Умови використання інформації. Вся інформація, розміщена на даному порталі, призначена лише для використання в особистих цілях та не підлягає подальшому відтворенню.
Медіаконтент (ілюстрації, фотографії, відео, аудіоматеріали, карти, скан образи) може бути використаний лише з дозволу правовласників. - Умови використання інформації. Вся інформація, розміщена на даному порталі, призначена лише для використання в особистих цілях та не підлягає подальшому відтворенню.
Медіаконтент (ілюстрації, фотографії, відео, аудіоматеріали, карти, скан образи) може бути використаний лише з дозволу правовласників.